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Finite-Elemente-Methode

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Autor: Dr.-Ing. Günter Müller, Gründer und ehem. Geschäftsführer CADFEM GmbH

Was ist die Finite-Elemente-Methode?

Schon immer sind wir interessiert, das Verhalten von Bauwerken und Konstruktionen vorauszubestimmen. Bei der Konstruktion einer Brücke interessiert uns zum Beispiel, ob sie ihr Eigengewicht tragen und auch Windböen und Erdbeben widerstehen wird. Das neu entwickelte Bügeleisen soll sich möglichst gleichmäßig und schnell erwärmen. Der Hubmagnet muss ausreichend starke Magnetfelder erzeugen, um die gewünschten Kräfte zu ermöglichen. Bei einer Mikropumpe interessieren uns die Strömungsverhältnisse in der Pumpe.

Zur Voraussage des Verhaltens bedienen wir uns der experimentellen und der rechnerischen Simulation. Im Folgenden wollen wir uns nur mit der rechnerischen Simulation beschäftigen. Diese gewinnt zunehmend an Bedeutung. Sie wird die Versuche nicht völlig ersetzen, aber in der Zahl reduzieren.

Die rechnerische Simulation baut auf der Lösung der Differentialgleichungen auf, die das Verhalten unserer Strukturen mathematisch beschreiben. So liefern die Differentialgleichungen der Elastizitätstheorie, wie beispielsweise die Differentialgleichung für den Biegebalken, auch die Verformungen und Spannungen infolge einer Beanspruchung durch äußere Kräfte. Die Laplace-Gleichung ermöglicht die Beschreibung von Temperaturfeldern und die Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen gibt Einblick in das Strömungsverhalten eines Fluids. Die Maxwell-Gleichungen beschreiben die Magnetfelder und die Helmholtz-Gleichung löst Probleme in der Akustik.

Die Lösungsfunktionen der Differentialgleichungen gewinnt man entweder analytisch oder numerisch. Analytische Lösungen sind leider nur für einfache akademische Fälle gegeben. Für die vielfältigen und meist komplexen Aufgaben der Praxis kommen nur numerische Näherungsverfahren in Betracht. Sie gehen von einer genäherten Lösungsfunktion aus, die aus einem Satz von frei gewählten Ansatzfunktionen multipliziert mit unbekannten Parametern zusammengesetzt ist. Die noch unbekannten Parameter der Lösungsfunktion werden durch ein Minimalprinzip (Fehlerquadrat- oder Energieminimum) bestimmt. Mathematisch gesehen wird so das Differentialgleichungsproblem in ein Variationsproblem überführt. Anstelle des Differentialgleichungssystems wird ein algebraisches Gleichungssystem für die eingeführten unbekannten Parameter gelöst. Die Güte der Näherungslösung hängt von den gewählten Ansatzfunktionen und der Anzahl der unbekannten Parameter ab.

Das Verfahren, das sich in den letzten Jahren durchgesetzt hat, ist die Finite-Elemente-Methode. Die FEM unterscheidet sich von anderen numerischen Verfahren nur dadurch, dass die Ansatzfunktionen gebietsweise (elementweise) gewählt werden und die freien Parameter physikalisch deutbare Größen an den Verbindungsstellen (Knoten) der Bereiche (Elemente) sind, zum Beispiel Verschiebungen, Temperaturen oder magnetische Potentiale. Hier sei auch angemerkt, dass die in manchen Marketingaufsätzen erwähnten sogenannten neuen Verfahren wie GEM (Geometrische Element-Methode, p-Methode) oder neuerdings EAM (Externe Approximations-Methode) grundsätzlich nichts Neues darstellen, sondern nur „Spielarten” ein und derselben Vorgehensweise sind. Von „FEM is out” kann also nicht die Rede sein!

FEM hat sich über die Jahre als rechnerisches Verfahren fest etabliert, weil es auf Computer zugeschnitten ist und mit diesen die Lösungsmöglichkeiten gewachsen sind – man kann heute ein Gleichungssystem mit einer Million Unbekannten auf einer gängigen Workstation in einer halben Stunde lösen.

Historischer Rückblick

Die FEM wurde in den 1960er-Jahren von Professor Argyris (Universitäten Stuttgart und London) und unabhängig von Professor Clough (Universität Berkeley, Kalifornien) erfunden. Cloughs Idee war es, das Gesamtgebiet in Bereiche (Elemente) aufzuteilen und die Gesamtlösungsfunktion durch bereichsweise einfache Ansatzfunktionen mit noch freien Parametern zu beschreiben. Als freie Parameter, d. h. Unbekannte, hat Clough Verschiebungsgrößen eingeführt. Argyris hat die Gleichungen der Statik bereichsweise in Matrizenschreibweise aufgestellt und kam auf diesem Wege zur FEM. Die Erfindung der FEM geschah also ingenieurmäßig. Erst anschließend wurde der Bezug zur Mathematik hergestellt und FEM als bereichsweises Variationsverfahren oder noch allgemeiner als bereichsweise Methode der gewichteten Reste erkannt. Eigentlich müsste auch Courant als einer der Begründer der FEM gelten. Er hat bereits 1943 vorgeschlagen, das Ritz'sche Variationsverfahren bereichsweise anzuwenden. Da damals noch keine leistungsfähigen Computer zur Lösung des aus diesem Verfahren resultierenden, verhältnismäßig größeren Gleichungssystems zur Verfügung standen, ist sein Lösungsvorschlag nicht beachtet worden.

Die Idee, eine Näherungslösung durch bereichsweise einfache Funktionen zu erhalten, ist nicht neu. Bereits Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.) hat das Verhältnis von Kreisumfang zu Durchmesser, d. h. die Zahl Pi, durch Näherung des Kreises durch gerade Linien bestimmt. Je mehr Geradenstücke (Bereiche) gewählt werden, desto genauer wird das Ergebnis. Gottfried Wilhelm Leibniz hat 1696 das Brachistochrone Problem durch die Annäherung mit Geradenstücken gelöst.

Die ersten kommerziellen Programme kamen Anfang der 1970er-Jahre auf den Markt. Dazu zählten Systeme wie ANSYS, MARC und NASTRAN, die heute noch Marktführer sind. Später kamen Systeme wie ADINA, ABAQUS, COSMOS und PERMAS hinzu. Seit den 90er-Jahren werden FE-Module auch in CAD-Systemen mitgeliefert. Hier sind zu nennen CATIA, Pro/ENGINEER, I-DEAS, UNIGRAPHICS, Computervision, INTERGRAPH und EUCLID.

Der große Erfolg der FEM hängt stark mit der Rechnerentwicklung zusammen. Anfangs liefen FE-Programme nur auf sogenannten Mainframes von IBM und Control Data. Berechnungen konnten nur in Rechenzentren durchgeführt werden. Zugang verschaffte man sich über Lochkarten im Batchbetrieb, später über Terminals im Timesharing-Modus. Mitte der 1970er-Jahre kamen erstmals Minicomputer auf den Markt, die direkt bei der Berechnungsabteilung installiert wurden. Solche Rechner wurden von Digital und Prime geliefert. Mit dem Aufkommen der Workstations und leistungsfähiger Personalcomputer Mitte der 80er-Jahre waren schließlich Berechnungsmöglichkeiten direkt beim Anwender gegeben. Dennoch sind auch heute noch Großrechner im Einsatz, um komplexe Aufgaben – wie zum Beispiel Crashsimulationen gesamter Fahrzeugmodelle mit heute 150.000 Elementen – in akzeptabler Zeit zu lösen.

Anwendungsbereiche

Erste Anwendungen wurden in der Luft- und Raumfahrt (Apollo-Programm), im Bauwesen (Hochhäuser, Brücken) und im Kernkraftwerksbau (Flugzeugaufprall auf Reaktorhülle) durchgeführt. Andere Industriebereiche wie Schiff- und Offshorebau, Automobilbau, Maschinenbau, Elektronik, Konsumgüter, Kunststoff und Medizintechnik folgten. Heute wird FEM in den Entwicklungs- und Konstruktionsabteilungen aller Industriebereiche eingesetzt. Standen anfangs Sicherheitsaspekte im Vordergrund, sind später Entwurfsoptimierungen hinzugekommen. In Zukunft werden Prozesssimulationen eine stärkere Bedeutung bekommen. Bereits heute sind Anwendungen in der Nahrungsmittelindustrie bekannt, so zum Beispiel die Umströmung von Parmesankäse oder der Trocknungsprozess von Pasta.

Die FEM wurde zunächst für Lösungen auf dem Gebiet der Statik und Dynamik herangezogen. Die Methode wurde stetig ausgebaut, um neben linearen auch nichtlineare Berechnungen unter Berücksichtigung von großen Verformungen, Plastizität und Kontakt zu ermöglichen. Der weitere Ausbau der Methode erfolgte über Temperaturfeldberechnungen zu Magnetfeldsimulation und Strömungsuntersuchungen. Da oft mehrere physikalische Effekte gleichzeitig auftreten, sind Entwicklungen auch dahin gegangen, mehrere Differentialgleichungen simultan zu lösen. Dazu dienen Mehrfeldelemente, die zum Beispiel gleichzeitig Temperaturen, Magnetfelder und Verschiebungen erfassen und so gekoppelte Probleme lösen können.

Als Gründe für die große Verbreitung der FEM sind zu nennen:

  • die Ausgereiftheit der Methode und das weite Anwendungsspektrum;
  • leistungsfähiges Pre- und Postprocessing, d. h. einfache Handhabung, gute Visualisierungsmöglichkeiten, schnelle Modellerstellung;
  • die Verfügbarkeit kostengünstiger und leistungsfähiger Rechner;
  • ausgebildete Anwender: Laut einer Umfrage an Fachhochschulen (1996) haben bereits 45 % der Maschinenbaustudenten eine Vorlesung über FEM gehört.

Nutzen für den Anwender

Der breite Nutzen der FEM ist heute insbesondere in der Produktentwicklung zu sehen. Kürzere Entwicklungszeiten, geringere Herstellungskosten, Reduktion des späteren Änderungsaufwands, Steigerung der Innovation, höhere Qualität und eine schnelle Reaktion auf verschärfte Richtlinien können durch frühzeitigen und begleitenden Einsatz von FEM erreicht werden. Mit FEM können Produkte bevor sie gebaut werden am Bildschirm auf ihre Tauglichkeit überprüft werden, und es können notwendige Änderungen schnell und ohne großen Aufwand vorgenommen werden.

Die Automobilindustrie hat dies erkannt. Dort werden Crashtests zunächst am Bildschirm durchgeführt, sodass nur noch wenige der aufwändigen Crashversuche erforderlich sind. Nicht nur große Firmen können und sollten sich FEM leisten. Bei LUK, einer eher mittelständischen Firma, hat FEM seit 1991 einen festen Platz. Zuvor war LUK auf äußerst aufwändige Versuchsreihen angewiesen, um die Kraft-Verschiebungs-Kennlinien von Tellerfedern zu ermitteln. Mindestens vier bis fünf Prototypenläufe mit entsprechenden Dauertests waren erforderlich. Heute kommt man mit einem, höchstens zwei Prototypen aus.

Literatur

Zur Geschichte der FEM

Rannacher, R. / Stein, E. / Ramm, E. u. a. / Schweizerhof, K. / Möller, H. / Bayer, U. u. a.: Finite Elemente, Spectrum der Wissenschaften, Heidelberg, März 1997

FEM zum Verstehen

Fröhlich, P.: FEM-Leitfaden, Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1995

FEM zum Verstehen und Üben mit dem Programm ANSYS/ED

Müller, G. / Groth, C.: FEM für Praktiker, expert Verlag Böblingen, 3. Auflage 1997
(4 Bände)

FEM-Theorie für Praktiker

Bathe, K.-J.: Finite Element Procedures in Engineering Analysis, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, New Jersey 07632, 1982, 1996

Knothe, K. / Wessels, H.: Finite Elemente, Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1991

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